调和级数判敛

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调和级数

n=11n\displaystyle \sum^{ \infty}_{n=1}{\frac{1}{n}}

调和级数作为级数判敛的基础内容,其解法值得记录一下

解答:

x>0x>0时,有x>ln(1+x)x>\ln(1+x),所以对于任意正整数n,显然也有1n>ln(1+1n)\frac{1}{n}> {\ln(1+ \frac{1}{n}})

n=1(1+1n)=n=1n+1n\displaystyle \sum^{\infty}_{n= 1}{(1+\frac{1}{n})}=\displaystyle \sum^{\infty}_{n= 1}{\frac{n+1}{n}}


Sn=ln21+ln32++lnn+1n=(ln2ln1)+(ln3ln2)++[ln(n+1)lnn]=ln(n+1)\begin{aligned} S_n=&\ln\frac{2}{1}+\ln\frac{3}{2}+\cdots+\ln\frac{n+1}{n} \\=&(\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+\cdots+[\ln(n+1)-\ln n] \\=&\ln(n+1) \end{aligned}

于是

limnSn=limnln(n+1)=+\lim_{n \to \infty}{S_n}=\lim_{n \to \infty}{\ln(n+1)}=+\infty

n=1ln(1+1n)\displaystyle\sum^{ \infty}_{n=1}{\ln(1+\frac{1}{n})}发散,根据正项级数的比较判敛法,有n=11n\displaystyle \sum^{ \infty}_{n=1}{\frac{1}{n}}发散,证毕。

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  1. 调和级数
    1. 调和级数作为级数判敛的基础内容,其解法值得记录一下
      1. 解答:
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